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Pik As Wahrscheinlichkeit

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1.6 Wahrscheinlichkeiten

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Ob die Grundvorstellungen der Kinder ihre Begründung der Zuordnung der Wahrscheinlichkeit aus der Einstiegsaufgabe beeinflusst, soll in der Analyseaufgabe vgl.

Abschnitt 3 näher untersucht werden. Im Hinblick auf die Einstiegsaufgabe wird zunächst das Urnenmodell in Kürze vorgestellt. Diese Gegenstände werden immer zufällig gezogen vgl.

Somit dient es als ein Modell für verschiedene Zufallsgeneratoren. Neben vielfältigen Situationen kann das Urnenmodell auch auf verschiedene Aufgabenstellungen angewandt werden.

In der Interview-Studie ist den Kindern unter anderem die oben dargestellte Einstiegsaufgabe gegeben worden. Sie sind aufgefordert worden, die zwei verschiedenen Ziehungen den zwei verschiedenen Urneninhalten zuordnen und ihre Entscheidungen zu begründen.

Wie Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden können, wird im Folgenden kurz aufgezeigt. Der Zugang zur Wahrscheinlichkeit ist prinzipiell auf zwei verschiedenen Wegen denkbar: Zum einen über den empirisch-statistischen und zum anderen über den klassisch-kombinatorischen Weg vgl.

Dehn, et al. Beim empirisch-statistischen Zugang wird ein Zufallsexperiment, hier am Beispiel des Urnenmodells, in mehreren Durchgängen wiederholt.

Dehn et al. Wie oft ein Ereignis z. Panknin, , S. Die absolute Häufigkeit ist jedoch nicht immer ausreichend, um Wahrscheinlichkeiten miteinander vergleichen zu können, da der Zufall dafür sorgt, dass die Ergebnisse in weiteren Wiederholungen streuen vgl.

Daher muss die absolute Häufigkeit im Verhältnis zur Anzahl der insgesamt durchgeführten Versuche betrachtet werden. Dieser Wert wird als relative Häufigkeit bezeichnet vgl.

Panknin , S. Neben den inhaltsbezogenen Kompetenzen kann im Kontext des Wahrscheinlichkeitsbegriffs auch das Begründen im Kontext der prozessbezogenen Kompetenzen des Argumentierens geschult werden.

Das Argumentieren im Sinne von Beweisen ist in der Grundschule sicher nicht möglich vgl. In der Grundschule scheint sich eher ein Begriff des Argumentierens durchzusetzen, der in der Nähe des 'Begründens' angesiedelt ist vgl.

Fetzer , S. Diese Ebene des Argumentierens wird als substanzielles Argumentieren bezeichnet und geht in der Grundschule dem analytischen Argumentieren Beweisen im deduktiven Sinne voraus vgl.

Beim substanziellen Argumentieren bleibt auf argumentationstheoretischer Ebene eine gewisse Unsicherheit bestehen vgl. Toulmin , S.

Im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden vielfältige Entdeckungen geboten, die eine Argumentationskompetenz herausfordern.

Im Folgenden werden mögliche Lösungswege für die Bearbeitung der Aufgabe dargestellt. In der dargestellten Einstiegsaufgabe werden zwei verschiedene Ziehungen aus unterschiedlichen Urneninhalten dargestellt.

Im nächsten Schritt wollen wir uns ansehen, wie sich ausgewählte Situationen im Spiel entwickeln können.

Im konkreten Fall wollen wir bewerten, wie wahrscheinlich die Verbesserung für eine bestimmte Pokerhand im Spielverlauf ist. Wir beginnen mit den Starthänden.

Wie wahrscheinlich ist es nun, dass sich eine Starthand am Flop durch das Aufdecken der 3 Karten verbessert? Auch hier wollen wir uns ausgewählte Hände ansehen.

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Ohne Zurücklegen: Lena legt die gezogene Karte vor jedem neuen Zug nicht wieder zurück. Anzahl der günstigen Ereignisse Nun überlegt Lena, welche Karten sie ziehen kann, damit ihre Ausgangsfrage erfüllt ist.

Lenas Ausgangsfrage war: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen? Es gibt 16 rote Spielkarten in einem Skat-Spiel.

Lenas Ausgangsfrage: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen? Berechnung der Wahrscheinlichkeit Das Kartenspiel wird gut gemischt und alle Karten sehen gleich aus.

Würfeln mit einem fairen Würfel ist ebenfalls ein Laplace-Experiment. Ausgangssituation: Spielabbruch Simon und Tobias werfen eine Münze.

Gewinner ist, wer als erstes 5 Spiele gewinnt. Nach 5 Würfen hat Simon 3-mal gewonnen und Tobias 2-mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Simon zum jetzigen Zeitpunkt Gesamtsieger?

Ausgangsfrage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Simon zum Gesamtsieger? Lösungsansatz Simon überlegt zunächst, nach wie vielen Spielen der Gesamtsieger spätestens feststeht.

Um zu gewinnen, benötigt Simon noch 2 weitere Siege. Dabei hat sich insbesondere eine Untersuchung von English damit beschäftigt, welche Vorgehensweisen Kinder bei der Bearbeitung von Aufgaben zeigen, in denen - wie in den Beispielen - immer zwei Elemente miteinander kombiniert werden müssen.

Sie stellt sechs Lösungsstrategien heraus, die von zufälligen Herangehensweisen über Versuch und Irrtum bis hin zu einem systematischen Finden aller Möglichkeiten reichen.

Eine Kenntnis dieser Wege trägt dazu bei, die individuellen Vorgehensweisen der Kinder besser zu verstehen. In einer noch nicht veröffentlichten Untersuchung mit Drittklässlern wurde zudem festgestellt, dass viele Kinder intuitiv versuchen, die Anzahl aller Lösungen rechnerisch zu bestimmen bzw.

Entsprechend trägt eine Kenntnis kombinatorischer Zählstrategien ebenfalls dazu bei, die Vorgehensweisen der Kinder besser zu verstehen. Hier finden Sie eine genauere Beschreibung der Vorgehensweisen von Kindern bei der Bearbeitung kombinatorischer Aufgabenstellungen:.

Lösungsstrategien über kombinatorische Zählstrategien. Wie bereits angedeutet, lassen sich in den Vorgehensweisen der Drittklässler auch bereits erste Ansätze von Zählstrategien erkennen, die über das Auflisten hinaus gehen.

Kombinatorik: Zählen, ohne zu zählen Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Zählens. Hefendehl-Hebeker , S. Es geht also darum, die Anzahl der Figuren zu bestimmen und nicht mehr die Anzahl von Einzelelementen.

Die zu zählenden Figuren die Spielpaarungen liegen noch nicht vor, sie müssen erst aus den einzelnen Elementen immer zwei Mannschaften erstellt werden.

Den zu bildenden kombinatorischen Figuren liegen abhängig von der jeweiligen Problemstellung verschiedene Bedingungen zugrunde.

Kombinatorische Aufgabenstellungen selber lösen Um Lösungswege von Kindern und deren Begründungen im Kontext kombinatorischer Aufgabenstellungen verstehen zu können, ist es notwendig, Einsichten in das Lösen solcher Aufgabenstellungen zu gewinnen.

Lotto In einem Säckchen sind Kugeln mit Zahlen. Eigenaktivität Lösen Sie die beiden kombinatorischen Probleme. Wichtig: Die Verwendung kombinatorischer Formeln als ein Lösungsweg ist erlaubt, Sie sollten in diesem Fall aber mindestens einen weiteren Lösungsweg finden.

Identifizieren sie eine oder mehrere Schlüsselideen in ihrem Vorgehen. Überlegen Sie auch, ob es besondere Schwierigkeiten gab.

Vergleichen Sie Ihren Lösungsweg mit denen der anderen und versuchen Sie, Gemeinsamkeiten und Unterschiede herauszuarbeiten.

Überlegen Sie auch, wie viele Möglichkeiten es bei n Mannschaften bzw. Analysieren Sie die Lösungsansätze der Kinder mit dem Ziel, diese zu verstehen.

Welche Schwierigkeiten haben die Kinder? Woran könnte das liegen?

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